[거꾸로교실] #20 수학6-2 (5)정비례와 반비례 - 레고로봇의 이동시간에 따른 이동거리 -

[거꾸로교실] #20

수학6-2  (5)정비례와 반비례

- 레고로봇의 이동시간에 따른 이동거리 -

수학 교과에서 로봇을 활용해볼까?

  수학 6학년 2학기 5단원 마지막 놀이마당에는 풍선을 이용하여 시간당 이동하는 거리를 측정하여 정비례관계를 찾아보는 활동이 제시되어 있다. 풍선에 공기를 넣는 것을 어떻게 정확하게 측정하고, 이동하는 거리는 어떻게 정확하게 측정하며, 그 둘 사이의 관계를 찾아낼 수 있을까?

  코딩을 통해 정해진 속도에 일정한 시간동안 이동거리가 동일하게 진행되는 로봇을 활용하는 것이 풍선에 공기를 불어넣어 보내는 활동보다 훨씬 더 정확한 측정이 가능할 것이라고 생각했다. 실제 수업에 적용할 수 있는지 학교 근무를 마치고 집으로 돌아와 집안일과 육아를 마치고, 밤시간을 이용해 준비했다. 그렇게 많은 시간을 들이며 수업을 준비하는 건 비효율적이라고 생각할 수도 있다. 하지만, 이건 순전히 내가 하고싶어서 하는 것이니까 효율성을 따지는 건 별 의미가 없다고 생각한다. 좋아서 하는 것이니까 말이다.

  21세기 빠르게 변화하는 미래사회를 준비하기 위해 교육현장은 미래교육을 준비해야한다고 한다. 하지만, 수업을 바라보는 현실은 다르다. 한 번의 수업 안에서(40분동안) 교과목표에 정확하게 맞아야 하고(정해진 지식을 정확하게 전달되어야 하고), 기-승-전-결이 있어야 하고, 누구나 하기 쉬워야 한다는 기준은 누가 세운 것인지 잘 모르겠다. 수업이 40분동안 결론이 날 수 있을까? 교사가 할 수 있는 역량 안에서 시도해보는 수업은 그 자체로 의미가 있지 않을까. 교사가 만족한 수업과 학생들이 즐겁게 참여하며 생각하게 만들어준 수업이면 충분하다.

단원의 성취기준

4-17-46 두 수 사이의 대응 관계를 x와 y를 사용하여 식으로 나타낼 수 있다. 

4-17-47 정비례와 반비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표나 식으로 나타낼 수 있다.

4-17-48 실생활에서 정비례와 반비례 관계의 예를 찾고, 이와 관련된 간단한 문제를 해결할 수 있다.

단원의 흐름

단원의 배경지식

  가. 정비례 관계

    변화하는 두 양 x, y에서 x의 값이 2배, 3배, 4배………로 변함에 따라 y의 값도 2배, 3배, 4배………로 변할 때, x와 y는 정비례한다고 한다. x와 y가 정비례하면 x와 y 사이에는 y=ax(a≠0)인 관계식이 성립하고 정비례 관계식을 그래프로 나타내면 원점을 지나는 직선이 된다.

    이전에 학습한 비와 비율 개념과 연결하여 x와 y가 정비례 관계일 때 x의 모든 값에서 x에 대한 y의 비율은 항상 일정하고 이때의 비율이 바로 비례상수(a=y/x 또는 y=a×x(a≠0))가 됨을 이해할 수 있도록 지도할 필요가 있다.

    정비례 관계와 관련하여 학생들이 가지는 대표적인 오개념은 정비례 관계를 증가함수나 일차함수와 혼동한다는 것이다. 즉, 머리카락이 매달 1.5cm씩 자랄 때 시간과 머리카락 길이의 관계나 y=ax+b를 정비례 관계라고 여기는 것이다. 따라서 정비례 관계는 두수 사이의 비, 즉 y/x의 값이 일정한 관계임에 주의해야 한다.

  나. 반비례 관계

    변화하는 두 양 x, y에서 x의 값이 2배, 3배, 4배………로 변함에 따라 y의 값도 1/2배, 1/3배, 1/4배………로 변할 때, x와 y는 반비례한다고 한다. x의 값이 변하면 y의 값은 x의 값에 따라 변하면서 x와 y의 곱이 항상 k가 될 때, x와 y는 반비례한다고 하고 k를 ‘비례상수’라 한다. 반비례 관계를 식으로 나타내면 0이 아닌 수 k에 대하여 x와 y 사이의 관계식이 x×y=k, y=k/x로 나타내어진다.

공개 수업 이전의 5단원 수업 흐름

  우주탐사와 관련된 스토리텔링으로 시작하기 위해 영화 ‘마션’의 예고편을 단원 시작에서 함께 보며 우주탐사에 필요한 다음과 같은 질문으로 시작하였다. 

<질문> 1. 우주에서 생활할 수 있는 기간은 무엇에 따라 달라질까요?
            2. 필요한 것들은 어떻게 준비해야 하나요?

  우주탐사 상황에서 한 값이 변함에 따라 다른 값이 따라서 변화하는 관계를 알아보며, 두 수 사이의 대응 관계를 살펴보았다.

  정비례와 반비례를 구별하여 각각의 단위 시간에 배우는 방법이 아니라 학습에 용이한 이분법적인 사고가 가능하도록 정비례의 개념과 반비례의 개념을 동시에 영상으로 학습하고, 교실에서는 둘의 차이점에 대해 사례를 통해 함께 이해하는 시간을 가졌다.

  그 이후, 정비례와 반비례를 활용하는 문제상황을 함께 확인하며 비교하고, 정비례와 반비례의 개념을 보다 명확하게 이해하여 문제상황의 차이점을 찾아가며 관계를 파악해보았다.

  개념을 이해하고 활용 사례를 두 가지를 비교하며 생각해보는 시간을 가진 후, 다시 마지막으로 “정비례와 반비례를 구별해봅시다.”의 수업으로 한 번 더 반복하는 수업의 과정을 거쳤다. 디딤영상으로 학습문제에 대한 내용을 각자 점검한 후, 학급 밴드에 각자 정비례와 반비례의 사례를 한 가지씩 만들어 댓글로 공유해보았다.

<댓글1> 

정비례: 1초에 400MB씩 자료를 전송을 할 때에 x초에 전송하는 자료 y MB
반비례: 시간에 달에 있는 쓰레기를 2kg 채집하는 (청소하는)기계 x 대로 달에 있는 쓰레기 400kg을 채집할때 필요한 y시간

<댓글2>

정비례: 하루에 12시간씩 일을 할 때 x(일) 동안 일한 y(시간)
반비례:물 1000mL를 우주인 x(명)이 똑같이 나누어 사용할때 한 명이 사용할수 있는 물 y(L)

수업 전, 디딤영상  

https://www.futureclassnet.org/vsXpQKgUg6.lv

디딤영상을 제작하면서 사전 측정을 해보았는데, 위 사진에서 보는 것 처럼 정비례 관계라고 할 수 없는 자료를 얻게 되었다.(위에서 설명해 둔 '단원의 배경지식 정비례 관계'중 밑줄 그어진 부분을 다시 읽어보시면 된다.)

  속도를 '1'로 고정해 통제변인으로 두고, 시간을 조작변인으로 1초씩 늘려나가며, 종속변인 이동거리를 측정하니 위 사진과 같은 결과를 얻었다. 이상하게도 최초 1초의 이동거리가 그 후 1초의 거리와 달리 약1.5배 더 멀었다. 그 후 1초씩 증가하는 시간에 따라 일정한 거리만큼 늘어났다.  출발점을 기준으로 보면 이 관계는 일차함수(y=ax+b) 관계이다.

  코딩블록 안에서 실제로 어떻게 프로그래밍 되어 있는지 확인이 불가하나, 추측컨데 최초 1초의 거리를 따로 지정해 둔 것으로 해석된다. 특이할 점은 1초 이후, 1초씩 증가할 때마다 거의 동일한 길이만큼(소수 첫째자리에서 반올림하면 6cm씩) 더 이동하고 있는 부분이다. 엄밀히 말하면 이 측정값으로는 정비례 관계가 아닌 사례로 봐야 한다.

 하지만,

  학생들이 레고로봇의 최초 이동거리 측정 결과를 두고 정비례 관계라고 해석할지, 아니라고 할지에 대한 의견이 궁금해졌다. 그리고 만약이라는 가정을 전제하여 최초 1초를 버리고, 1초 이동한 거리를 시작점으로 하여 1초씩 늘어날 때마다 이동한 거리에 대한 관계를 질문했을 때 어떻게 생각하게 될지, 그래서 다시 첫 의견에 대한 생각을 나누어보고 싶어졌다.

• [점검]

  수업 시작에서는 이전 수업에서 배운 내용을 다시 복습해보는 활동으로 학생들이 문제를 만들어 댓글로 남겼던 것 중에서 2문제를 선택하고 수정하여 제시하였다. 그리고, 디딤영상에서 오늘 활동에서 정확한 자료를 얻기 위해 주의해야 할 부분에 대해 안내하였고, 그것을 다시 떠올리도록 질문도 제시하였다.

• [측정활동]

• [분석활동]

• [정리활동]

공개수업을 마치고,

  레고로봇의 1초동안의 거리가 예상과 달리 다른 구간보다 약 1.5배 정도 더 길게 이동하여 정비례 관계로 볼 수 없는 데이터가 나왔다. 이 데이터를 사용하여 정비례와 반비례 관계 수업에서 사용해야 할지 많은 고민이 되었다. 하지만, 이 수업은 정비례와 반비례를 모두 이해한 후 마지막 놀이활동으로 진행하는 순서이었고, 학생들에게 혼란스러운 상황을 제시하여 본래 개념을 정확하게 알고 있는지 확인해보는 과정으로 사용하는 것은 무리가 없다고 생각되었다.

  실제 공개수업에서는 속도블럭을 1,2,3 중에서 모둠별로 제공하였는데, 1초후 각 구간마다 거리도 정확하게 정비례관계로 증가하지 않고 거리가 조금씩 차이가 있었다. 그래서 반올림을 통해 이동거리를 자연수로 바꾸고 관계를 찾아보도록하는 수업으로 진행하였다.

  학생들이 40분동안의 공개수업 시간 안에 이 활동을 정확하게 마무리하지 못하고 아쉽게 마치게 되어서, 그 다음 수학 시간에 한 번 더 해보기로 하였다. 두 번째 수업에서는 모든 모둠이 속도1, 속도4 두가지를 적용해보았고 데이터를 기록해보았다.

  신기하게도 속도4에서의 각구간별 이동거리가 최초 1초를 제외하고는 거의 동일하게 나오는 것을 알 수 있었다. 첫 수업 전에 속도4에 대한 데이터를 사전 실험으로 찾아내었더라면 하는 아쉬움이 남았지만, 두번째 수업에서 속도4를 활용하여 "최초1초 구간을 버린다면, 로봇의 이동시간에 따른 이동거리는 어떤 관계인가?"라는 질문에 학생들은 명확하게 정비례 관계라고 대답했다.